شکل ‏43 منحنی دمای دبای برحسب چگالی43
جدول‏ 1-4ارتباط بین خروجی ما و نتایج اندرسون44
جدول‏ 4-2 تصحیح کوانتومی مدول حجمی45
فصل اول
مقدمه
در عصر حاضر پی بردن به خواص ترمودینامیکی مواد یکی از مهم‌ترین دغدغه‌های دانشمندان به‌خصوص فیزیکدانان و شیمیدانان است و این مهم از ابتدای تحقیقات علمی تاکنون وجود داشته است.
بعلاوه ما همیشه به دنبال روش‌های آسان برای پی بردن به این خواص هستیم چراکه روش‌های آزمایشگاهی بسیار زمان‌بر و پرهزینه هستند.در این پایان‌نامه سعی شده است که با استفاده از ابزار مکانیک آماری به روشی آسان برای محاسبه و تخمین مدول بالک جامدات دست‌یابیم. در آخر نتایج خود را با داده‌های آزمایشگاهی مقایسه می‌کنیم. انشاا… که مطالب این پایان‌نامه مفید و مورداستفاده قرار گیرد.
انرژی آزاد هلمهولتز1
از انرژی آزاد هلمهولتز F میتوان برای به دست آوردن فشار P یک جامد استفاده کرد. برای تعداد زیادی از جامدات در سرامیک‌ها و ژئوفیزیک ،F دارای سه بخش است:
(1-1) که پتانسیل یک شبکه ایستا در صفر مطلق است، انرژی ارتعاشی به دلیل حرکت اتم‌ها به‌طوری‌که هر یک مجبور به ارتعاش اطراف نقطه شبکه‌اند و پتانسیل ناشی از الکترون‌ها است. در بعضی جامدات، پتانسیل‌های دیگری از قبیل مغناطیس کنندگی و اثرات اپتیکی سهیم‌اند ولی در این کار این پتانسیل‌ها مهم نیستند زیرا تا حد زیادی به نارساناها وابسته‌اند.
تعداد زیادی از مواد معدنی عایق‌اند، در چنین مواردی را می‌توان نادیده گرفت اما در مورد آهن نباید نادیده گرفته شود. در اینجا سه تابع ترمودینامیکی وجود دارد که به‌وسیله آن P و V به دیگر متغیرهای ترمودینامیکی ربط داده می‌شود.
انرژی آزاد هلمهولتز
(2-1) انرژی گیبس2
(3-1) آنتالپی3
(4-1) که آنتروپی4، انرژی داخلی، آنتالپی است. گاهی اوقات و انرژی‌های آزاد نامیده می‌شوند. در سیستم‌های ترمودینامیکی که حجم و دما متغیرهای مستقل‌اند رابطه (2-1) مناسب است، درنتیجه انرژی آزاد هلمهولتز برای بسیاری از مشتقات به‌کارگیری خواهد شد.از طرفی دستگاه بیشتر از مقدار کاری که در فرآیند همدما انجام می‌دهد انرژی آزاد هلمهولتز از دست می‌دهد. به نحو مشابه تغییر انرژی آزاد گیبس دستگاه به مراتب بیشتر از کار غیر فشار حجمی است که در دما و فشار ثابت انجام می‌شود. معادله حالت فشار برحسب متغیرهای و به شکل روبرو تعریف می‌شود: (5-1) معادله حالت از به دست خواهد آمد. به‌ویژه در معادله (5-1) همچون معادله حالت ،سهم دگرشکلی را برای را در نظر نمی‌گیریم، به این دلیل که نادیده گرفتن سهم دگرشکلی قابل توجیه است زیرا فشار در قیاس با تنش برشی بزرگ‌تر است.
معادله‌های اساسی ترمودینامیک
برحسب ، معادله‌های اساسی ترمودینامیک به‌صورت زیر هستند:
(6-1) (7-1) (8-1) (9-1) (10-1) (11-1) که ظرفیت گرمایی ویژه در حجم ثابت است ، مدول حجمی ، ضریب انبساط حجمی است. فشار به‌صورت زیر داده می‌شود:
(12-1) همچنین را برحسب(10-1) و (11-1) به‌صورت زیر است:
(13-1) 4-1 فشار معادله حالت
برای یک نارسانا از و که انرژی گرمایی و انرژی ارتعاشی دمای صفر است. که یک‌ترم کوچک ناشی از مکانیک کوانتومی است که بیان مناسب‌تر برای که در آن اثرات و اثرات گرمایی به‌صورت واضح جداشده‌اند به‌صورت زیر است:
(14-1) که بیان‌گر صفر مطلق است. با استفاده از معادله (9-1) و(14-1) داریم :
(15-1) بر اساس معادله (5-1) و (15-1) ، یک تابع و به‌جز در صفر مطلق که است.در اینجا از معادله (15-1) همچون یک تعریف استاندارد برای جامدات دی‌الکتریک بدون الکترون آزاد استفاده می‌کنیم:
(16-1) و فرمول پایه زیر را داریم :
(17-1) فرض کنید به‌وسیله متغیر بدون بعد جایگزین شود، که اغلب اتساع نامیده می‌شود،،که در اینجا فشردگی(تراکم) نامیده می‌شود، که زیرنویس صفر نشان‌دهنده در فشار صفر است. صورت دیگر معادله (17-1) به‌صورت زیر است:
(18-1) برای یک فلز در دمای بالا، همچون آهن در هسته زمین، یک جمله، باید به معادله(18-1) اضافه شود به این دلیل که انرژی آزاد الکترون‌ها ( در1 )مهم می‌شود[1].
5-1 دیدگاه ماکروسکوپیک
مطالعه هر شاخه از فیزیک با جدا کردن ناحیه محدودی از فضا یا قسمت محدودی از ماده از محیط آن آغاز می‌شود. قسمت برگزیده که موردتوجه قرار می‌گیرد، سیستم، و هرچه که در خارج آن قرار دارد و در نحوه رفتار آن نقش مستقیم دارد، محیط خوانده می‌شود. وقتی یک سیستم انتخاب شد، قدم بعدی توصیف آن برحسب کمیت‌هایی است که به رفتار سیستم یا برهم‌کنش‌های آن با محیط، یا هر دو مربوط‌اند. به‌طورکلی دو دیدگاه وجود دارد که پذیرفتنی است، دیدگاه ماکروسکوپیکی و دیدگاه میکروسکوپی.
برای توصیف ماکروسکوپیکی یک سیستم مثل مواد داخل یک سیلندر موتور اتومبیل از چهار کمیت که عبارت‌اند از ترکیب، حجم، فشار، دما استفاده می‌شود.این کمیت‌ها به مشخصات کلی، یا خواص بزرگ‌مقیاس سیستم مربوط می‌شوند و مبنای توصیف ماکروسکوپیکی سیستم را تشکیل می‌دهند. لذا این کمیت‌ها، مختصات ماکروسکوپیکی خوانده می‌شوند. کمیت‌هایی که برای توصیف ماکروسکوپیکی سایر سیستم‌ها باید مشخص شوند،البته، متفاوت‌اند، ولی مختصات ماکروسکوپیکی عموماً دارای ویژگی‌های مشترک زیر می‌باشند:
هیچ‌گونه فرض خاصی درباره ساختار ماده در برندارند.
تعداد آن‌ها کم است.
آن‌ها را کم‌وبیش مستقیماً با حواس خود درمی‌یابیم.
عموماً می‌توان آن‌ها را مستقیماً اندازه‌گیری کرد.
تأکید می‌کنیم که دیدگاه ترمودینامیک کلاسیک، کاملاً ماکروسکوپیکی است. قانون اول ترمودینامیک، عبارت از رابطه‌ای است بین کار، انرژی داخلی و گرما که کمیت‌های اساسی فیزیک هستند. وقتی‌که قانون اول در مورد رده‌ای از سیستم‌ها به کار می‌رود، یک رابطه کلی به دست می‌آید که در مورد هر عضوی از رده برقرار است اما شامل هیچ کمیت با ویژگی که متعلق به یک سیستم خاص باشد و آن را از دیگران متمایز سازد، نیست. مثلاً معادله روبه‌رو برای تمام سیستم‌های هیدروستاتیکی، اعم از جامد، مایع و یا گاز برقرار است. این معادله ما را قادر می‌سازد تا یک سیستم هیدروستاتیکی را، به‌شرط دانستن انرژی داخلی برحسب تابعی از و ، محاسبه کنیم. گرمای منتقل‌شده در طی یک فرایند هم‌حجم را که عبارت است از:
می‌توان هنگامی‌که یک سیستم خاص موردنظر برحسب معلوم است، محاسبه کرد. اما در ترمودینامیک کلاسیک چیزی وجود ندارد که اطلاعات تفصیلی در مورد و در اختیارمان بگذارد.
یک مثال دیگر از محدودیت ترمودینامیک کلاسیک، ناتوانی آن در به دست آوردن معادله حالت یک سیستم مطلوب است. برای استفاده هر معادله ترمودینامیکی که شامل و و و مشتقات آن‌ها ، ، است، باید یک معادله حالت داشته باشیم. مقادیر تجربی، اغلب اوقات مفیدند، ولی در مواردی وجود دارند که انجام آزمایش‌های ضروری، عملی نیست.
6-1 دیدگاه میکروسکوپیکی
برای به دست آوردن اطلاعات دقیق راجع به مختصات ترمودینامیکی و ویژگی‌های گرمایی سیستم‌ها، بدون اینکه مجبور باشیم به ‌اندازه‌گیری‌های تجربی متوسل شویم، نیاز به محاسباتی داریم که مبتنی بر ویژگی‌ها و رفتار مولکول‌های سیستم باشند. دو فرضیه میکروسکوپی وجود دارد؛ یکی نظریه جنبشی، و دیگری مکانیک آماری. هر دو فرضیه، مولکول‌ها، حرکت داخلی و خارجی آن‌ها با یکدیگر و با دیواره‌های موجود و نیروهای برهم‌کنش آن‌ها را موردبحث قرار می‌دهند. با استفاده از قوانین مکانیک و نظریه احتمالات، نظریه جنبشی به جزئیات حرکت و برخورد مولکولی می‌پردازد و قادر است وضعیت‌های ناپایدار زیر را بررسی کند:
مولکول‌هایی که از روزنه موجود در یک ظرف به خارج می‌گریزند و فرایند موسوم به برون پخشی را به وجود می‌آورند.
مولکول‌هایی که در یک لوله در اثر اختلاف فشار حرکت می‌کنند، و جریان آرام لایه‌ای را به وجود می‌آورند.
مولکول‌هایی که دارای اندازه حرکت‌اند و از یک صفحه عبور می‌کنند و با مولکول‌هایی که اندازه حرکتشان کمتر است مخلوط می‌شوند. این فرایند مولکولی عامل چسبندگی است.
مولکول‌هایی که دارای انرژی جنبشی‌اند و از یک صفحه عبور می‌کنند و با مولکول‌هایی که انرژی کمتری دارند مخلوط می‌شوند. این فرایند عامل رسانش گرماست.
مولکول‌های همنوعی که از یک صفحه عبور می‌کنند و با مولکول‌هایی از نوع دیگر مخلوط می‌شوند. این فرایند مرسوم به پخش است.
ترکیب شیمیایی بین دو یا تعداد بیشتری از انواع مولکول‌ها، که با سرعت محدودی صورت می‌گیرد و به سینتیک شیمیایی معروف است.
عدم‌تساوی برخوردهای مولکولی با وجوه مختلف یک جسم خیلی کوچک که در یک سیال معلق است. این عدم‌تساوی باعث می‌شود که جسم معلق حرکت زیگزاگی اتفاقی داشته باشد که به حرکت براونی مرسوم‌اند
در مکانیک آماری از پرداختن به جزئیات مکانیکی مربوط به حرکت‌های مولکولی اجتناب شده است، و فقط جنبه‌های انرژی مولکول‌ها در نظر گرفته می‌شوند. مکانیک آماری تا حد زیادی به نظریه احتمالات متکی است ولی ازنظر ریاضی ساده‌تر از نظریه جنبشی است، اگرچه درک آن مشکل‌تر است. فقط حالت‌های تعادل قابل‌بررسی هستند، اما به‌گونه‌ای یکنواخت و مستقیم به‌طوری‌که وقتی ترازهای انرژی مولکول‌ها و یا سیستم‌هایی از مولکول‌ها شناخته می‌شوند می‌توان‌ یک برنامه محاسباتی به اجرا درآورد که از طریق آن، معادله حالت، انرژی و سایر توابع ترمودینامیکی به دست آیند.
ازنظر مکانیک آماری، یک سیستم متشکل است از تعداد بسیار زیادی مولکول، ، که هرکدام از این مولکول‌ها می‌تواند در مجموعه‌ای از حالت‌هایی که انرژی آن‌ها مساوی 1ԑ ، 2ԑ و… است، قرار گیرد. فرض بر این است که مولکول‌ها در اثر برخورد یا توسط نیروهایی که به‌وسیله‌ میدان ایجادشده‌اند، با یکدیگر برهم‌کنش می‌کنند. سیستم مولکول‌ها را می‌توان به‌صورت منزوی در نظر گرفت و یا، در بعضی موارد، می‌توان فرض کرد که مجموعه‌ای از سیستم‌های مشابه، آن‌ها را در برگرفته‌اند. مفاهیم احتمالاتی به کار گرفته می‌شوند و فرض می‌شود که حالت تعادلی سیستم حالتی است که احتمال آن بیشینه است. مسئله اساسی تعداد مولکول‌ها در هر یک از حالت‌های انرژی مولکولی(که به جمعیت این حالت‌ها موسوم‌اند) را، به هنگام حصول تعادل بدانیم. توصیف میکروسکوپیکی یک سیستم شامل مشخصات زیر است:
فرض‌هایی درباره ساختار ماده، مثلاً وجود مولکول‌ها، می‌شود.
کمیت‌های زیادی باید مشخص شوند.
کمیت‌های مشخص‌شده توسط حواس ما دریافت نمی‌شوند.
این کمیت‌ها را نمی‌توان اندازه گرفت.
7-1 مقایسه دیدگاه‌های ماکروسکوپیکی و میکروسکوپیکی
اگرچه ممکن است این‌طور به نظر برسد که این دو دیدگاه بسیار متفاوت و با یکدیگر ناسازگارند، اما رابطه‌ای بین آن‌ها موجود است، و وقتی‌که هر دو دیدگاه در مورد یک سیستم به کار روند، باید نتیجه یکسانی به دست دهند.رابطه بین این دو دیدگاه در این واقعیت نهفته است که ویژگی‌های معدودی که مستقیماً قابل‌اندازه‌گیری هستند و مشخص کردن آن‌ها همان توصیف ماکروسکوپیکی سیستم است، درواقع میانگین‌های زمانی تعداد زیادی از مشخصه‌های میکروسکوپیکی در یک مدت‌زمان هستند. مثلاً، کمیت ماکروسکوپیکی فشار، عبارت است از میانگین آهنگ تغییرات اندازه حرکت ناشی از تمام برخوردهای مولکولی در واحد مساحت. باوجوداین، فشار خاصیتی است که توسط حواس ما قابل‌درک است. ما آثار فشار را احساس می‌کنیم. فشار خیلی پیش‌ازاین که فیزیک‌دانان دلیلی بر وجود برخوردهای مولکولی داشته باشند مورد تجربه و اندازه‌گیری و استفاده قرارگرفته بود. اگر نظریه مولکولی تغییر کند، مفهوم فشار کماکان باقی خواهد ماند و همان معنی معمولی خود را نزد تمام انسان‌ها خواهد داشت. در اینجا یک وجه تمایز مهم بین دیدگاه‌های ماکروسکوپیکی و میکروسکوپیکی وجود دارد. ویژگی‌های ماکروسکوپیکی معدودی که قابل‌اندازه‌گیری هستند به‌اندازه حواس آدمی قابل‌اطمینان‌اند. این ویژگی‌ها تا وقتی‌که حواس ما همین‌طور باقی بمانند، بدون تغییر باقی خواهند ماند. اما، دیدگاه میکروسکوپیکی خیلی از حواس ما فراتر می‌رود. این دیدگاه، وجود مولکول‌ها، حرکت، حالت‌های انرژی، برهم‌کنش‌های آن‌ها و غیره را اصل قرار می‌دهد. دیدگاه میکروسکوپیکی دائماً در حال تغییر است، و ما هرگز نمی‌توانیم از موجه بودن این اصول مطمئن باشیم مگر اینکه قبلاً برخی از نتایجی را که مبتنی بر آن‌ها هستند با نتایج مشابه مبتنی بر دیدگاه ماکروسکوپیکی، مقایسه کرده باشیم [2].

فصل دوم
1-2مدول الاستیک
مدول الاستیک یا مدول الاستیسیته(modulus of elasticity)، یک تعریف ریاضی است از تمایل ذاتی اجسام برای تغییر شکل الاستیک(غیردائمی) زمانی که نیرویی به آن وارد می‌شود. مدول الاستیک به‌طور فیزیکی برابر شیب منحنی تنش- کرنش در ناحیه تغییر شکل الاستیک است. به‌طوری‌که λ مدول الاستیک است و همچنین واحد آن همان واحد تنش است. بر اساس چگونگی اعمال تنش و کرنش انواع مدول الاستیک تعریف می‌شود و همچنین واحد آن همان واحد تنش است. بر اساس چگونگی اعمال تنش و کرنش انواع مدول الاستیک تعریف می‌شود. که در قسمت زیر به سه نمونه از مهم‌ترین آن‌ها اشاره می‌کنیم:
2-2 مدول یانگ
که الاستیسیته کششی را شرح می‌دهد و تمایل جسم به تغییر شکل در راستایی که نیرو وارد می‌شود را توصیف می‌کند. اغلب به‌عنوان حالت ساده از مدول الاستیک به کار می‌رود. در مکانیک جامدات، مدول یانگ را به‌عنوان مدول کششی(tensile elasticity) می‌شناسند،  که معیاری از سختی مواد الاستیک همسانگرد5 است. مدول یانگ به‌عنوان نسبت تنش تک‌محوری بر کرنش تک‌محوری در محدوده قانون هوک تعریف می‌شود. این نسبت می‌تواند به‌صورت تجربی از شیب منحنی تنش-کرنش طی آزمایش کشش بر روی نمونه به دست آید. به‌طورمعمول و نه دقیق، مدول الاستیک یا مدول الاستیسیته نیز نامیده می‌شود، زیرا مدول یانگ معمول‌ترین مدول الاستیک است، به‌هرحال دیگر مدول‌های الاستیک عبارت‌اند از: مدول حجمی و مدول برشی. واحد: مدول یانگ نسبت تنش که برحسب پاسکال است، بر کرنش که بی‌بعد است می‌باشد؛ بنابراین مدول یانگ همان واحد تنش را دارا است.
3-2 مدول برشی
یا مدول سختی(rigidity) تمایل جسم به برش (تغییر شکل در حجم ثابت) در برابر نیروی وارد بر آن است ( تغییر شکل در حجم ثابت )، مدول برشی زیرشاخه‌ای از ویسکوزیته می‌باشد.
4-2 مدول حجمی
که الاستیسیته حجمی را توصیف می‌نماید، یا تمایل جسم را به تغییر شکل در تمام جهات را زمانی که نیرویی ثابت در تمام جهات وارد می‌شود؛ این پارامتر تنش حجمی را بر کرنش حجمی تعریف می‌کند و این عکس فشار پذیری است. مدول حجمی حالت سه‌بعدی مدول یانگ است.
5-2 کاربرد مدول یانگ
مدول یانگ این اجازه را می‌دهد تا رفتار یک تیر ساخته‌شده از مواد الاستیک (ایزوتروپ) تحت نیروی کششی یا فشاری محاسبه شود. به‌عنوان‌مثال، می‌تواند برای پیش‌بینی مقدار ازدیاد طول میله تحت کشش و یا کمانش آن تحت‌فشار، استفاده شود. بیشتر محاسبات نیاز به اطلاع از دیگر خصوصیات ماده همچون، مدول برشی، دانسیته و نسبت پواسون دارد.
6-2 مواد خطی و غیرخطی
برای بیشتر مواد، مدول یانگ اساساً در یک بازه کرنش، ثابت است. این مواد خطی نامیده می‌شوند و از قانون هوک تبعیت می‌کنند. مثال‌هایی برای مواد خطی می‌توان به فولاد، الیاف کربن اشاره کرد و موادی همچون شیشه، لاستیک و خاک مواد غیرخطی نامیده می‌شوند.
7-2 مواد جهت‌دار
مدول یانگ همواره در جهات مختلف یک ماده یکسان نیست. بیشتر فلزات و سرامیک‌ها، به همراه بسیاری دیگر از مواد، همسانگرد(ایزوتروپ) می‌باشند؛ خصوصیات مکانیکی این مواد در تمام جهات یکسان است. غیر ایزوتروپی را می‌توان به‌راحتی در کامپوزیت‌ها دید. به‌طور مثال، الیاف کربن مدول بسیار بالاتری نشان می‌دهند زمانی که نیرو موازی الیاف وارد می‌شود در مقابل نیروی وارد در جهت عمود.
8-2 تعریف سختی
سختی یک جسم معیاری است از مقاومتی که در یک جسم الاستیک در برابر تغییر شکل رخ می‌دهد(خمش، کشش و یا فشرده شدن).
9-2 ارتباط سختی با الاستیسیتی
درواقع، مدول الاستیک همان سختی نیست. مدول الاستیک یک خصوصیت از مواد تشکیل‌دهنده می‌باشد؛ درحالی‌که سختی یک خصوصیت از مواد صلب می‌باشد. بنابراین، مدول جز خواص شدتی مواد است؛ سختی ، به‌عبارت‌دیگر خواص مقداری مواد صلب است که به ماده و شکل و شرایط مرزی آن وابسته است. خواص شدتی به خصوصیاتی گفته می‌شود که به مقدار و اندازه ماده وابسته نیست، درحالی‌که خواص مقداری مواد به مقدار و اندازه ماده وابسته است. در حالت خاص کشش یا فشار بدون قید تک‌محوری، مدول یانگ می‌تواند به‌عنوان معیاری از سختی یک ماده فرض شود.
10-2 موارد استفاده مدول در مهندسی
سختی یک ساختار به‌عنوان مهم‌ترین اصل در بسیاری از موارد کاربرد مهندسی به شمار می‌آید، بنابراین مدول الاستیسیته اغلب به‌عنوان اصلی‌ترین خصوصیات ماده در زمان انتخاب موردبحث قرار می‌گیرد. یک مدول الاستیسیته بالا مطلوب است زمانی که تغییر شکل ماده نامطلوب است، درحالی‌که یک مدول الاستیسیته پایین زمانی که انعطاف‌پذیری ماده موردنیاز است، مطلوب است [3].
11-2 نظریه انیشتین در مورد گرمای ویژه بلورها
در اینجا، یک مدل فوق‌العاده ساده را برای مشخصه ارتعاشی یک بلور موردبحث قرار خواهیم داد.در حقیقت این مدل چنان ساده است که به‌منظور قدردانی از بینش عمیق و اثر موجود در این مدل بایستی ازلحاظ زمانی به ابتدای سده جاری برگردیم. ترمودینامیک آماری کلاسیکی، تا پایان سده نوزدهم تا حد نسبتاً خوبی گسترش‌یافته بود. اگر چنین در نظر گرفته شود که N اتم یک جامد بلوری به‌صورت نوسانگرهای هماهنگ، حول موقعیت‌های تعادلی خود رفتار می‌نمایند، نظریه کلاسیکی (افراز یکسان) پیش‌بینی می‌کند که هر اتم برای هر سه درجه آزادی ارتعاشی خود R cal/deg-mole سهم دارد، یا اینکه ظرفیت گرمایی مولی در حجم ثابت 3Nk=3R=6cal/deg-mole است.این پیش‌بینی که به قانون دولن و پتیت معروف است، در دمای به‌اندازه کافی بالا، و اغلب تا حد دمای اتاق،با ظرفیت گرمایی مشاهده‌شده بسیاری از بلورها در توافق خوبی است. اما در دماهای پایین این توافق کاملاً از بین می‌رود. مثلاً ظرفیت گرمایی نقره در شکل(1-2) زیر نشان داده است.
1-2شکل ظرفیت گرمایی نقره
می‌توان ملاحظه کرد که ظرفیت گرمایی نقره به‌طور مجانبی به مقدار دولن و پتیت میل می‌کند، اما هنگامی‌که دما به سمت صفر میل می‌کند این منحنی سریعاً به صفر میل می‌کند. این رفتار عموماً زیاد مشاهده می‌شود، و به طریق تجربی معلوم شده است هنگامی‌که دما به صفر میل می‌کند، ظرفیت گرمایی به‌صورت T3 به صفر میل می‌کند. این به‌عنوان قانونT3 شناخته‌شده است و یک واقعیت تجربی است که هر نظریه موفقی باید آن را نتیجه‌گیری کند. در آغاز سده جاری، انحراف‌ها از رفتار کلاسیکی پیش‌بینی‌شده، مرتباً در حال کشف شدن بودند، و هر یک اعتراض سختی بر نظریه‌های فیزیکی آن زمان وارد می‌کردند. برای ارتعاش‌های اتم‌ها در بلورها، انیشتین اولین کسی بود که با کاربرد مفاهیم انقلابی نظریه تابش جسم سیاه پلانک، یک توضیح نظری برای ظرفیت گرمایی دمای پایین جامدات ارائه داد. انیشتین فرض کرد که هر اتم در بلور، حول پیکربندی تعادلی خود به‌صورت یک نوسانگر هماهنگ ساده مرتعش می‌شود، لذا کل بلور می‌تواند به‌صورت دسته‌ای از 3N نوسانگر هماهنگ مستقل در نظر گرفته شود، که هر نوسانگر دارای فرکانس یکسان باشد.سپس ازلحاظ فیزیکی وی فرض کرد محیطی متوجه اتم می‌شود که متوجه هر اتم دیگری نیز می‌شود و بنابراین، این امکان وجود داشت که تمام N اتم را به‌صورت نوسانگرهای مستقل در جهت‌های x وy وz در نظر بگیرند.ازلحاظ کلاسیکی چنین فرضی منجر به مقدار 3Rcal/deg-mole قانون دولن و پتیت می‌شود، اما سهم بزرگ انیشتین (در 1907) این بود که گفت انرژی هر یک از 3N نوسانگر مستقل باید بر مبنای روشی که توسط پلانک توسعه‌یافته بود، کوانتیده شده باشد. بنابراین، می‌توانیم بگوییم که انیشتین فرض کرد که طیف فرکانس یک تابع دلتا در یک فرکانس بوده است.
(1-2) که در آن فاکتور 3N گنجانده‌شده است، تا معادله روبرو صادق باشد، و تنها فرکانسی است که به تمام 3N نوسانگر مستقل بلور نسبت داده می‌شود. مقدار فرکانس انیشتین، از ماده‌ای به ماده دیگر تغییر می‌کند، و از بعضی جهات، این فرکانس، طبیعت برهم‌کنش‌های بین‌اتمی را برای آن بلور خاص منعکس می‌کند .اگر معادله را در معادله زیر قرار دهیم:
(2-2) فرمول زیر را برای ظرفیت گرمایی به دست می‌آوریم:
(3-2) متداول است که کمیت را با ، که دارای واحد دماست و آن را دمای انیشتین بلور می‌نامند، تعریف می‌کنند. برحسب دمای انیشتین معادله بالا به‌صورت زیر است:
(4-2) معادله بالا برای تطبیق کل منحنی ظرفیت گرمایی نشان داده‌شده در شکل(1-2) یک تنظیم‌پذیر را دارا است. در شکل(2-2)، مقایسه‌ای بین معادله(4-2)و ظرفیت گرمایی تجربی الماس‌نشان داده‌شده است. در معادله(4-2) هنگامی‌که دما به بی‌نهایت میل می‌کند، ظرفیت گرمایی ، به مقدار دولن و پتیت 3NK=3R میل می‌کند.
شکل2-2مقایسه ظرفیت گرمایی تجربی الماس با مقدار پیش‌بینی‌شده بر مبنای نظریه انیشتین
اگرچه در شکل (2-2) نشان داده‌شده است که مدل انیشتین برای یک بلور قادر است که توافق کیفی مؤثری باتجربه برقرار کند، اما ازلحاظ کمی با آن در توافق نیست. به‌ویژه معادله (4-2) پیش‌بینی می‌کند که ظرفیت گرمایی دمای پایین، به‌جای اینکه به‌طرف T3، به‌عنوان داده‌های تجربی میل کند، به‌صورت زیر سیر می‌کند:
(5-2) ظرفیت گرمایی دمایی دمای پایین که معادله (5-2) پیش‌بینی می‌شود، سریع‌تر از قانون T3به مقدار صفر خود سقوط کند. در بخش بعدی خواهیم دید که از نظریه دبای که چند سال بعد از نظریه انیشتین عرضه شد، T3 آنگاه‌که معین می‌شود. قبل از وارد شدن در نظریه دبای، به یک ویژگی مهم معادله (4-2) که در نظریه‌های دقیق‌تر نیز ظاهر می‌شود، اشاره می‌کنیم. از معادله (4-2) پیش‌بینی می‌شود که برای تمام مواد، تابع یکسانی است، مشروط بر اینکه در مقابل رسم شود. آنگاه‌که چنین چیزی اتفاق افتد، می‌گوییم در مقابل یک تابع عام است. به‌محض اینکه دما با کمیتی که بستگی به ماده خالص دارد، قیاس شود یا کاهش یابد، منحنی ظرفیت گرمایی در مقابل دمای کاهیده برای تمام بلورها بر روی‌هم قرار خواهد گرفت.
12-2 نظریه دبای در مورد ظرفیت گرمایی بلورها

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

بر مبنای مفاهیم پلانک، انرژی یک نوسانگر، با فرکانس آن متناسب است، و چون در دماهای پایین انرژی‌های پایین‌تر متراکم‌اند، می‌توانیم استنباط کنیم که در دماهای پایین شیوه‌های مربوط به فرکانس پایین یا طول‌موج بلند، مهم‌ترین شیوه‌ها می‌باشند. موفقیت نظریه دبای در این است که فرکانس‌های طول‌موج بلند یک بلور به‌طور دقیق بررسی می‌شوند، و ازاین‌رو قادر است ظرفیت گرمایی دمای پایین را پیش‌بینی کند.
فرکانس‌های بهنجار یک بلور از صفر ذاتی تا مقداری از مرتبه 1013 cycles/sec (هرتز) تغییر می‌کنند. فرکانس‌های بهنجار به ارتعاش‌های اتم‌های منفرد منسوب نیستند، بلکه حرکت هماهنگ جوری از تمام اتم‌هایند. این حرکت جور را یک مختصه بهنجار یا طرح بهنجار نامیده می‌شود .دو شیوه بهنجار برای یک بلور یک‌بعدی موجود است. شیوه اول که در آن اتم‌ها علیه یکدیگر مرتعش می‌شوند دارای طول‌موج a2 است. در شیوه دوم که در آن ‌یک ردیف طولانی از اتم‌ها که به‌طور یکنواخت حرکت می‌کنند یک شیوه طول‌موج بلند با فرکانس کم ایجاد می‌شود. این شیوه‌های طول‌موج بلند است که دبای توانست آن‌ها را با روش مدبرانه‌ای بررسی کند.
دبای نتیجه گرفت که، شیوه‌های بهنجاری که طول‌موج آن‌ها نسبت به فواصل اتمی طویل می‌باشند، به جزئیات مشخصه اتمی جامد بستگی ندارند. و با فرض اینکه بلور یک جسم کشسان پیوسته است، می‌توان آن شیوه‌ها را محاسبه کرد. تقریب نظریه دبای در این است که در آن تمام فرکانس‌های بهنجار از این دیدگاه بررسی می‌شوند.
برای یک موج‌داریم:
(6-2) کمیت را بردار موج می‌نامند، و بزرگی آن 2π/λ است.سرعت این موج از محاسبه می‌شود. از روی‌هم قرار دادن دو موج رونده با جهت‌های مخالف می‌توان موج ایستاده به دست آورد. از این عمل چنین نتیجه می‌شود :
برای سهولت فرض کنیم که بلور، مکعبی به طول است، با شرط مرزی ، ، ، را معین می‌کند، که در آن‌ها ، و دیگر مؤلفه‌ها و ، ، اعداد مثبت‌اند. که به‌صورت برداری به این شکل است:
(7-2) فرکانس فقط به بزرگی بستگی دارد(به‌وسیله رابطه )، که چنین معین می‌شود:
(8-2) چگالی حالت با بردار موج به بزرگی کمتر چنین است:
و تعداد آن بین و عبارت است از:
(9-2) با استفاده از رابطه می‌توانیم این معادله را به تبدیل می‌کنیم:
(10-2) این تقریباً نتیجه مطلوبی است. باید تصدیق کنیم که در یک محیط پیوسته، دو نوع موج می‌تواند انتشار یابد. نوع اول امواج عرضی، که در آن محیط، عمود بر جهت انتشار مرتعش می‌شود، و نوع دیگر امواج طولی، که در آن محیط، در همان جهتی که موج انتشار می‌یابد، مرتعش می‌شود. چون دو بردار مستقل عمود بر ، و فقط یک بردار به‌موازات می‌توان رسم کرد، دو موج عرضی و یک موج طولی وجود دارد.

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید